Сочетание нагрузок при расчете обрешетки


Расчет деревянных элементов покрытия: обрешетки и стропильной ноги

 

 

1. Расчет несущих элементов покрытия

Стропильные ноги рассчитывают как свободно лежащие балки на двух опорах с наклонной осью. Нагрузка на стропильную ногу собирается с грузовой площади, ширина которой равна расстоянию между стропильными ногами. Расчетная временная нагрузка q должна быть расположена на две составляющие: нормальную к оси стропильной ноги и параллельно к этой оси.

2.1.1. Расчет обрешетки

Принимаем обрешетку из досок сечением 50´50 мм (r = 5,0 кН/м), уложенных с шагом 250 мм. Древесина — сосна. Шаг стропил 0,9 м. Уклон кровли 350 .

Расчет обрешетки под кровлю ведется по двум вариантам загружения:

а) Собственный вес кровли и снег (расчет на прочность и прогиб).

б) Собственный вес кровли и сосредоточенный груз.

Исходные данные:

1.Принимаем бруски 2-го сорта с расчетным сопротивлением Ru=13 МПа и модулем упругости Е=1´104МПа.

2.Условия эксплуатации Б2 (в нормальной зоне), mв=1; mн=1,2 для монтажной нагрузки при изгибе.

3.Коэффициент надежности по назначению gn=0,95.

4.Плотность древесины r=500 кг/м3.

5.Коэффициент надежности по нагрузке от веса оцинкованной стали gf=1,05; от веса брусков gf=1,1.

6.Нормативный вес снегового покрова на 1м2 горизонтальной проекции поверхности земли S0=2400 Н/м2.

Расчетная схема обрешетки

Рис. 2.1

Таблица 2.1

Сбор нагрузки на 1м.п. обрешетки, кН/м

где S0 — нормативное значение веса снегового покрова на 1 м2 горизонтальной

поверхности земли, принимаемое по табл. 4 [4], для IV снегового рай-

она S0 = 2,4 кПа;

m — коэффициент перехода от веса снегового покрова земли к

снеговой нагрузке на покрытие, принимаемый по п. 5.3 – 5.6 [4].

При загружении балки равномерно распределенной нагрузкой от собственного веса и снега наибольший изгибающий момент равен:

Кнм

При углах наклона кровли a³10° учитывают, что собственный вес кровли и обрешетки равномерно распределен по поверхности (скату) крыши, а снег — по ее горизонтальной проекции :

Mx = M cos a = 0.076 cos 290 = 0.066 кН´м

My= M sin a = 0.076 sin 290 = 0.036 кН´м

Момент сопротивления:

см

см

Прочность брусков обрешетки проверяют с учетом косого изгиба по формуле:

,

где Mx и My — составляющие расчетного изгибающего момента относительно главных осей X и Y.

Ry=13 МПа — расчетное сопротивление древесины изгибу.

gn=0,95 — коэффициент надежности по назначению.

,

Момент инерции бруска определяем по формуле:

4

4

Прогиб в плоскости, перпендикулярной скату:

м

Прогиб в плоскости, параллельной скату:

м ,

где Е=1010Па — модуль упругости древесины вдоль волокон.

Полный прогиб:

Проверка прогиба: ,

где = — предельно допустимый относительный прогиб, определяемый по табл. 16 [5].

При загружении балки собственным весом и сосредоточенным грузом наибольший момент в пролете равен:

кН´м

Проверка прочности нормальных сечений:

,

где Ry=13 МПа — расчетное сопротивление древесины изгибу.

gn=0,95 — коэффициент надежности по назначению.

Условия по первому и второму сочетаниям выполняются, следовательно принимаем обрешетку сечением b´h=0,05´0,05 с шагом 250 мм.

2.1.2. Расчет стропильных ног

Рассчитаем наслонные стропила из брусьев с однорядным расположением промежуточных опор под кровлю из оцинк. кр. железо. Основанием кровли служит обрешетка из брусков сечением 5050 мм с шагом =0,25 м. Шаг стропильных ног =1,0 м. Материал для всех деревянных элементов – сосна 2-го сорта. Условия эксплуатации – Б2.

Район строительства – г. Вологда.

Расчетная схема стропильной ноги

Рис. 2.2

Бруски обрешетки размещены по стропильным ногам, которые нижними

концами опираются на мауэрлаты (100100), уложенные по внутреннему обрезу наружных стен. В коньковом узле стропила скрепляются двумя дощатыми накладками. Для погашения распора стропильные ноги стянуты ригелем – двумя парными досками. Угол наклона кровли 290.

Производим сбор нагрузок на 1 м2 наклонной поверхности покрытия, данные заносим в таблицу 2.2.

Таблица 2.2
Сбор нагрузки на 1м.п. стропильной ноги, кН/м

где S0 — нормативное значение веса снегового покрова на 1 м2 горизонтальной поверхности земли, принимаемое по табл. СНиП 4 [4], для IV снегового района S0 = 2,4 кПа;

m — коэффициент перехода от веса снегового покрова земли к снеговой нагрузке на покрытие, принимаемый по п. 5.3 – 5.6 [4].

Производим статический расчет стропильной ноги как двухпролетной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой. Опасным сечением стропильной ноги является сечение на средней опоре.

Изгибающий момент в этом сечении:

кН м

Вертикальное давление в точке С, равное правой опорной реакции двухпролетной балки составляет:

=0,265 кН

При симметричной нагрузке обоих скатов вертикальное давление в точке С удваивается: кН.

Раскладывая это давление по направлению стропильных ног, находим сжимающее усилие в верхней части стропильной ноги:

кН

Растягивающее усилие в ригеле равно горизонтальной проекции усилия N.

кН.

Проверяем сечение стропильной ноги.

Из условия прочности при изгибе определяем требуемый момент инерции, вводя коэффициент 1,3 для возможности восприятия сечением продольной силы и момента.

м3

Сечение Æ16см удовлетворяет требованиям. Wx=409,6 см3, Jx=3276,8 см4. Производим проверку сечения на сжатие с изгибом:

<

Расчетная длина большей части стропильной ноги:

м.

Гибкость в плоскости изгиба:

Коэффициент, учитывающий увеличение изгибающего момента при деформировании оси:

Условие

< RcПа

Проверяем сечение по деформациям.

Относительный прогиб:

<=0,005

Оставляем сечение Æ16см.

Проверим напряжение в середине нижнего участка. Изгибающий момент в этом месте составит:

кН×м.

М1< М , поэтому дальнейшая проверка не требуется.

Виду небольших значений усилий в ригеле, стойке и подкосах их расчет не производим.

Понравилось это:

Нравится Загрузка...

Похожее

Обрешетка и щитовой настил. Расчет и конструирование.

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 16Следующая ⇒

Ответ:

Настилы и обрешетки покрытий служат для поддержания кровли и утеплителя.

Конструкция настила зависит от типа кровли и теплоизоляции. Неутепленные покрытия в виде кровли из плоских или волнистых листов асбестоцемента, стеклопластика, кровельной стали и черепицы выполняют по обрешетке из брусков сечение не менее 50х50 мм с шагом, зависящим от размеров и прочности кровельных листов (рис. 4.4). При рулонной кровле настил должен иметь сплошную ровную дощатую или фанерную поверхность. Настилы, как правило, изготавливаются из древесины 3-го сорта, при этом расчетное сопротивление древесины изгибу принимается равным 13 МПа.

Настилы могут быть продольными (в этом случае доски рабочего настила располагаются перпендикулярно коньку кровли; Рис. 4.5, 4.6.).

 

 

Рис. 4.5. Продольный настил: а) схема приложения нагрузок; б) расчетная схема (1 - верхний пояс несущей конструкции; 2 – прогон; 3 – рабочий настил, защитный слой условно не показаны).

 

Рис. 4.6. Поперечный настил: а) схема приложения нагрузок; б) расчетная схема (1 – верхний пояс несущей конструкции; 2 – рабочий настил; 3 – защитный косой настил, кровля условно не показаны).

 

Поперечные настилы выполняют либо в виде однослойного, либо в виде двойного перекрестного.

Двойной перекрестный настил состоит из двух слоев: нижнего – рабочего и верхнего – защитного, защитный слой изготавливается из досок толщиной 16…20 мм шириной не менее 100 мм, укладываемых под углом 45…60 к рабочему слою и крепится к нему гвоздями. Рабочий слой для лучшего проветривания рекомендуется делать разреженным с шагом не менее 20 мм из досок толщиной 19…32 мм. Доски рабочего настила для повышения жесткости следует опирать на три или более опоры.

Для сокращения трудоемкости работ при возведении здания настилы и обрешетки изготавливают в виде щитов (Рис. 4.7, 4.8.).

 

Рис. 4.7. Щит разреженной брусчатой обрешетки

 

 

Рис. 4.8. Дощато-гвоздевые щиты настилов покрытий: а) щит двойного перекрестного настила; б) щит однослойного раскосного настила; 1 – доски; 2 – гвозди; 3 – косой защитный настил; 4 – разреженный рабочий настил; 5 – раскосы; 6 – поперечины.

 

 

Дощатый настил под мягкую кровлю рассчитывают как двух пролетную неразрезную шарнирно опертую балку (Рис. 4.6.).

Расчетную ширину настила условно принимают равной 1 м. В двойных настилах защитный настил не рассчитывается, его размеры назначаются по конструктивным соображениям. При незначительных уклонах кровли (до 10° ) угол наклона в расчете обычно не учитывается.

При сплошном одинарном или двойном настиле скатной составляющей нагрузки обычно пренебрегают, и настил рассчитывается только на нагрузку, перпендикулярную к плоскости настила.

При расчете обрешеток ее элементы (бруски обрешетки) рассчитываются на действие сил в двух главных плоскостях (расчет на косой изгиб).

Расчет настилов ведется на два основных сочетания нагрузок (рис. 4.6.).

1 – сочетание: постоянная (g) и временная снеговая (s). Расчетный изгибающий момент в этом случае равен

где М1 – максимальный (расчетный) изгибающий момент;

полная нагрузка на настил;

l – расчетный пролет настила.

Расчет ведется по формулам:

на прочность

где W – момент сопротивления поперечного сечения настила для полоски шириной 1 м;

Ru = 13 МПа – расчетное сопротивление древесины изгибу;

на жесткость

 

где f – максимальный прогиб настила; qHнормативная нагрузка; I – момент инерции сечения настила для полосы шириной 1 м; E – модуль упругости древесины; fu = l/150предельно допустимый прогиб.

При втором сочетании нагрузок при расчете учитывают равномерно распределенную постоянную нагрузку gи монтажную сосредоточенную нагрузку (вес рабочего с инструментом). Нормативная монтажная нагрузка принимается равной PH = 1 кН. С учетом коэффициента надежности по нагрузке 1,2 расчетная монтажная нагрузка P = 1,2 кН. Нагрузка от этого сосредоточенного груза при сплошном настиле передается на две доски при расстоянии между их осями S не более 15 см и на одну доску одиночного настила при расстоянии более 15 см. При двойном настиле этот груз считается распределенным на ширину 0,5 м настила.

Максимальный изгибающий момент M2 при втором сочетании нагрузок возникает на расстоянии 0,43l от крайней опоры (см. Рис. 4.6.) и равен

 

Расчет выполняется только на прочность по формуле:

где mH= 1,2 – коэффициент, учитывающий кратковременность действия монтажной нагрузки.



Читайте также:

 

Расчет нагрузки на стропильную систему кровли


Для чего и каким образом необходимо производить расчет нагрузок на стропильную систему крыши мы поделимся с Вами в данной статье.

Стропильная система является основной несущей конструкцией крыши, состоящей, как правило, из «скелета» деревянных или металлических балок и элементов, находящихся в тесной и жесткой связке между собой. Поэтому, перед началом строительства крыши, необходимо произвести расчет конструкции с учетом всех возможных нагрузок, воздействующих на крышу дома в любое время года. Расчет по нагрузкам необходим для определения шага (расстояния между элементами)и сечения стропил для обеспечения требуемой жесткости и устойчивости всего стропильного каркаса. Как правило, типовое сечение стропил 50мм х 150мм (или 50мм х 200мм), шаг между стропильными ногами обычно колеблется в диапазоне от 0,6 до 1,1м.

На стропила воздействуют как постоянные, так и временные нагрузки.

К постоянным нагрузкам относятся:

  • Вес самой стропильной системы;
  • Вес кровли;
  • Вес чернового настила, обрешетки/контробрешетки;
  • Вес утеплителя (в случае жилой мансарды) и подкровельных пленок;

К временным нагрузкам относятся:

  • Cнеговая нагрузка;
  • Ветровая нагрузка;
  • Вес людей, обслуживающих кровлю;

При расчете снеговых и ветровых нагрузок необходимо руководствоваться СП 20.13330.2011 «Нагрузки и воздействия». Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85* (карты районирования территории РФ по климатическим характеристикам, а также расчетные параметры).

Расчетное значение снеговой нагрузки определяется по формуле:

Sрасчетное = Sg * µ,

где Sg – расчётное значение веса снегового покрова на 1м² горизонтальной поверхности земли, принимаемое по таблице:

Снеговой район

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

Sg (кгс/м2)

80

120

180

240

320

400

480

560

µ - коэффициент перехода от веса снегового покрова земли к снеговой нагрузке на покрытие.

Коэффициент µ зависит от угла наклона ската кровли:

  • µ = 1 при углах наклона ската кровли меньше 25°
  • µ = 0,7 при углах наклона ската кровли от 25° до 60°
  • При углах наклона ската более 60° значение µ в расчете полной снеговой нагрузки не учитывают.

Расчетное значение средней составляющей ветровой нагрузки на высоте «z» над поверхностью земли определяется по формуле:

W=WO *k,

где WO – нормативное значение ветровой нагрузки, принимаемое по таблице ветрового района РФ:

Ветровой район

Ia

I

II

III

IV

V

VI

VII

Wo (кгс/м2)

17

23

30

38

48

60

73

85

k – коэффициент, учитывающий изменение ветрового давления по высоте, определяется по таблице, в зависимости от типа местности:

Высота здания в метрах

А

B

5

0,75

0,5

10

1

0,65

20

1,25

0,85

А – открытые побережья морей, озёр и водохранилищ, пустыни, степи, лесостепи и тундры.

B – городские территории, лесные массивы и др. местности, равномерно покрытые препятствиями более 10м.

*при определении ветровой нагрузки типы местности могут быть различными для разных расчетных направлений ветра.

Подбор сечений стропил и других элементов конструкции:

Сечение бруса, используемого для стропил, зависит от длины стропильного элемента, шага установки стропил и расчетной величины нагрузок для данного региона. В таблице ниже сведены значения, соответствующие возможным максимальным нагрузкам по г. Москве и М.О. Данные не заменяют полноценного расчета несущей способности стропильной системы, их можно рассматривать как рекомендательные для достаточно простых конструкций крыш, а также учитывая ассортимент пиломатериалов, которые выпускают предприятия РФ, согласно ГОСТ 24454-80.

Шаг установки стропил Длина стропильного элемента (м)
3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
600 40х150 40х175 50х150 50х150 50х175 50х200 50х200
900 50х150 50х175 50х200 75х175 75х175 75х200 75х200
1100 75х125 75х150 75х175 75х175 75х200 75х200 100х200
1400 75х150 75х175 75х200 75х200 75х200 100х200 100х200
1750 75х150 75х200 75х200 100х200 100х200 100х250 100х250
2150 100х150 100х175 100х200 100х200 100х250 100х250 -

После того, как будут определены все временные и постоянные нагрузки, производится расчет несущих элементов стропильной системы на прочность, устойчивость, деформации и другие параметры совместной работы всей конструкции вцелом, при этом обязательно учитываются коэффициенты надежности (коэффициенты запаса) по нагрузке.

Подобные расчеты основываются на сопромате и принятых расчетных схемах для каждого отдельного случая в отдельности и осуществляются инженерами-проектировщиками, специализирующихся на проектировании зданий и сооружений.

Напоследок хотелось бы отметить, что выбирая кровельный материал для своего загородного дома, например, между керамической черепицей и гибкой черепицей, следует учитывать совокупные нагрузки от конструкций в целом. Например, ввиду сравнительно легкого веса битумной черепицы она ошибочно кажется более легкой, нежели массивная керамическая. Ошибочно лишь потому, что для гибкой черепицы необходим сплошной настил (ОСП, ФСФ фанера или калиброванные доски), дополнительная учащенная обрешетка, дополнительная гидроизоляция и не только. Сравнивая в итоге общий вес кровельного пирога из керамической черепицы и гибкой черепицы можно сделать вывод, что разница в весе минимальна и практически не ощутима, распределяя общий вес от кровли на всю стропильную систему.

Стропильная система крыши, нагрузки на крышу

Стропильная система крыши — одна из важнейших конструкций дома, которая требует при проектировании и монтаже учета ветровых, снеговых и постоянных нагрузок от кровельного пирога.

На начальных этапах проектирования дома у заказчика уже имеется определенное видение формы крыши и того, каким кровельным материалом она будет покрыта. Выбрав металлочерепицу, битумную черепицу или иной финишный материал, в дальнейшем не рекомендуется его радикально менять. Это обусловлено тем, что конструкция стропильной системы просчитывается в том числе с учетом веса и несущей способности кровельного материала.

Стропильная система крыши должна быть смонтирована в соответствии со строительными нормами. Вся конструкция должна рассчитываться так, чтобы с учетом кровельного материала крыша выдерживала снеговую и ветровую нагрузки, собственный вес, вес теплоизоляционных материалов и внутренней обшивки. Все перечисленные нагрузки и их расчет для крыши подробно рассмотрены в данном обзоре.

Нагрузки на крышу

В зависимости от продолжительности действий нагрузки на крышу подразделяются на два вида:

  • Постоянные.
  • Временные.

К постоянным нагрузкам относится собственный вес крыши, который складывается из:

  • Веса стропильной системы и обрешетки.
  • Кровельного материала.
  • Веса теплоизоляционного слоя (если кровля утеплена).
  • Веса отделочных материалов внутренней стороны кровли (на мансардных этажах).

Временные нагрузки на крышу подразделяются на:

  • Длительные — снеговые нагрузки и температурные климатические воздействия с пониженными нормативными значениями.
  • Кратковременные — снеговые нагрузки и температурные климатические воздействия с полным нормативным значением, ветровые нагрузки, гололедные нагрузки, нагрузки от людей и ремонтных материалов (возникают во время монтажа, ремонта и обслуживания крыши)
  • Особые — сейсмическое воздействие на стропильную систему.

Перейдем к детальному анализу каждого типа нагрузки.

Нагрузка от кровли

На силовую конструкцию крыши существенное влияние оказывает ее собственный вес. И в данном пункте подробно рассмотрено влияние на нагрузку от кровли таких постоянных составляющих, как кровельный материал, теплоизоляционный слой и внутренняя отделка.

Для покрытия скатных крыш могут применяться следующие материалы:

  • Металлочерепица.
  • Керамическая черепица.
  • Цементно-песчаная черепица.
  • Мягкая битумная черепица.
  • Оцинкованная сталь с фальцами.
  • Волнистые асбестоцементные листы (шифер).
  • Волнистые битумные листы (ондулин).
  • Гонт (дранка).

У каждого вида кровельного материала свой вес из расчета на квадратный метр. С учетом веса и конструкционных особенностей материала подбирается оптимальный и допустимый угол наклона крыши.

Чем плотнее материал и герметичнее способ его укладки, тем меньше может быть уклон крыши и наоборот — чем мельче размеры (например черепица), тем круче должна быть крыша. Также существует зависимость, в которой с увеличением веса кровли увеличивается и угол наклона стропильной системы.

Рассмотрим рекомендуемые уклоны скатных крыш в зависимости от массы кровельного материала:

Кровельный материал Уклон крыши Масса 1 м²⁄кг
Асбестоцементный волнистый шифер толщиной до 5 мм от 1 : 10 до 1 : 2 10 — 11
Асбестоцементный волнистый шифер толщиной свыше 5 мм от 1 : 5 до 1 : 1 11 — 13
Волнистые битумные листы (ондулин) от 1 : 10 и более 4
Мягкая битумная черепица от 1 : 10 и более 8 — 15
Оцинкованная сталь с одинарными фальцами от 1 : 4 и более 3 — 6,5
Оцинкованная сталь с двойными фальцами от 1 : 5 и более 3 — 6,5
Керамическая черепица от 1 : 5 до 1 : 0,5 50 — 60
Цементная черепица от 1 : 5 до 1 : 0,5 45 — 70
Металлочерепица от 1 : 5 и более 3,6 — 5,5

Угол ската крыши может выражаться как в градусах, так и в процентах и дробью (отношение высоты крыши к пролету). Измерить угол ската смонтированной крыши можно при помощи специального инструмента (уклономер, транспортир, строительные уровни с поворотными линейками, лазерные измерители). Когда же речь идет о создании новой кровли, то для определения и задания нужного уклона удобно пользоваться дробным отношением высоты конька к длине пролета.

Уклон кровли = Высота в коньке, м ⁄ Половина пролета, м. Если нужно выразить в процентном отношении, то: Уклон кровли = (Высота в коньке, м ⁄ Половина пролета, м) × 100.

Следующая схема с указанием кровельных материалов наглядно показывает уклон крыши как в градусах, так и в отношении высоты к пролету:

1) Стружка, гонт, щепа.
2) Черепица, асбестоцементные и битумные плитки, сланцевые плитки.
3) Рулонные материалы четырехслойных кровель с защитным слоем гравия, втопленного в горячую мастику, а также лотки ендов таких же кровель.
4) Рулонные материалы трехслойных кровель с защитным слоем гравия, втопленного в горячую мастику.
5) Рулонные материалы трехслойных кровель без защитного слоя.
6) Рулонные материалы для двухслойных кровель, наклеиваемые на горячих и холодных мастиках, металлочерепица.
7) Волнистые асбестоцементные листы унифицированного профиля.
8) Черепица.
9) Асбестоцементные листы усиленного профиля.
10) Листовая сталь.
11) Асбестоцементные листы обыкновенного профиля.
h — высота конька.
l ⁄ 2 — расстояние по горизонтали (проекция) от конька до карнизного свеса.

Рассмотрев таблицу и схему, стоит отметить, что вес кровельного материала из одной группы может отличаться. Производители имеют свои технологии производства, и их продукция отличается толщиной, составом. Поэтому при выборе конкретного материала стоит изучить техническую документацию.

Если помещения под крышей планируется делать жилыми, то в состав кровельного пирога добавляется слой утеплителя. И нагрузка от утеплителя рассчитываются исходя из его толщины и удельного веса.

Таблица удельного веса разных видов утеплителя:

Вид утеплителя Показатели удельного веса (плотности), кг ⁄ м³
минимальный максимальный
Минеральная вата 50 200
Пенопласт 100 150
Экструдированный пенополистирол 28 60
Пеноизол 10 10
Вспененный полиэтилен 24 60
Пеностекло 100 400

В нежилых (холодных) чердаках утепляется только перекрытие, и в этом случае утеплитель не учитывается в расчете нагрузки на крышу.

Нагрузку оказывает и отделка внутренней части мансардной крыши. В зависимости от применяемого материала (гипсокартон, фанера, вагонка) меняется и вес обшивки, воздействующей на стропильную систему.

Для расчета нагрузки от обшивки внутренней части кровельного пирога необходимо объемный вес используемого материала умножить на его толщину. В качестве примера рассмотрим обшивку крыши изнутри влагостойкими гипсокартонными листами толщиной 12,5 мм (0,0125 м). Объемный вес гипсокартона 850 кг ⁄ м³ умножаем на 0,0125 м и получаем значение 10,6 кг ⁄ м².

Стропильная система и обрешетка крыши в разрезе нагрузок

В данном пункте рассмотрена очередная составляющая постоянных нагрузок — вес стропильной системы и обрешетки. И прежде чем приступать к раскрытию вопроса, следует выделить основные элементы стропильной системы крыши:

1) Стропильная нога — важная часть стропильной системы на которой крепится обрешетка. Сечение стропильной ноги зависит того из чего она изготовлена, веса обрешетки и кровельного материала, а так же возможных снеговых и ветровых нагрузок.
2) Коньковый прогон — это формирующий верхнюю часть крыши брус, на который упираются стропильные ноги.
3) Стойка — это опирающиеся на лежни столбики, которые удерживают коньковый прогон.
4) Подкос — диагональный конструкционный элемент, предназначенный для соединения стропил и передачи от них напряжений сжатия.
5) Лежень — горизонтально расположенное бревно (брус), подложенное под основные элементы стропильной системы.
6) Мауэрлат — элемент из бруса (бревна), уложенный сверху в тех частях наружной стены, где происходит опирание стропил.
7) Обрешетка — решетчатая конструкция поверх стропил, усиливающая пространственную структуру крыши и являющаяся основанием для крепления кровельного материала.

Раскрывая вопрос нагрузок от кровли в разрезе стропильной системы особое внимание стоит уделить подбору сечения, шага стропил и обрешетки. С задачей определения оптимальных параметров стропильных ног справится простая в использовании программа «Стропила 1.0.1.». Поэтому далее более детально будет рассмотрена тема обрешетки крыши.

Чтобы определить требуемый вид и шаг обрешетки, необходимо заранее определиться с видом кровельного покрытия:

  • Обрешетку для металлочерепицы монтируют из брусков 40 (50) × 50 мм или 60 × 60 мм, которые укладываются на определенном расстоянии друг от друга. Обычно шаг обрешетки составляет 35 — 40 см (зависит от длины волны).
  • Для битумной черепицы или рулонного кровельного материала делается сплошной настил из досок, влагостойкой фанеры или влагостойкой ориентированно-стружечной плиты (ОСП, OSB).
  • Под кровли из крупноразмерного асбесто-цементного шифера шаг обрешетки подбирается так, чтобы под каждым листом оказалось как минимум три решетины (обычно шаг обрешетки составляет 60 см).
  • Под волнистые битумные листы (ондулин) шаг обрешетки выбирается в зависимости от уклона: 45 см для уклонов от 1 : 6 до 1 : 4, 60 см для уклонов более 1 : 4, сплошная обрешетка для уклонов менее 1 : 6.
  • Под кровли из малоразмерных штучных элементов (керамическая черепица) шаг обрешетки принимается таким, чтобы каждая черепица ложилась на две решетины.

Рекомендуемая толщина сплошного настила обрешетки: 

Шаг стропил, мм Толщина фанеры, мм Толщина OSB, мм Толщина досок, мм
600 12 12 20
900 18 18 23
1200 21 21 30
1500 27 27 37

Древесина обрешетки перед монтажом должна быть высушена, иначе стропильная конструкция может подвергнутся деформации и порче кровли.

Вес деревянной конструкции стропильной системы рассчитывается исходя из выбранного материала и его объема. Для элементов из хвойных пород дерева объемный вес 1 м³ принимается равным 500 — 550 кг ⁄ м³. Объемный вес фанеры или OSB (ОСП) ≈ 600 — 650 кг ⁄ м³.

Снеговая нагрузка на кровлю

Снеговая нагрузка на кровлю определяется произведением расчетного значения веса снегового покрова на 1 м² горизонтальной поверхности земли, принимаемого в соответствии с картой районирования по весу снегового покрова и коэффициента (μ) перехода от веса снегового покрова земли к снеговой нагрузке на покрытие.

Районирование территории Российской Федерации по весу снегового покрова:

Значения снеговой нагрузки в зависимости от региона:

Регион Снеговая нагрузка
1 80 — 56 кг ⁄ м²
2 120 — 84 кг ⁄ м²
3 180 — 126 кг ⁄ м²
4 240 — 168 кг ⁄ м²
5 320 — 224 кг ⁄ м²
6 400 — 280 кг ⁄ м²
7 480 — 336 кг ⁄ м²
8 560 — 392 кг ⁄ м²

Коэффициент μ зависит от угла наклона ската кровли:

  • μ = 1 при углах наклона ската кровли менее 25° (1 : 2,5).
  • μ = 0,7 при углах наклона ската кровли от 25° (1 : 2,5) до 40° (1 : 1,3).
  • μ = 0,66 для скатов крыши с углом наклона 40° (1 : 1,3).
  • μ = 0,5 для скатов с углом наклона 45° (1 : 1).
  • μ = 0,33 для скатов с уклоном 50° (1 : 0,85).
  • μ = 0 при углах скатов равных или больше 60° (1 : 0,55).

Снижение и увеличение снеговых нагрузок также зависит от направления ветра. Например, на двухскатных крышах с углом скатов от 20° до 30° с наветренной стороны будет лежать 75%, а с подветренной — 125% от того количества снега, который лежит на горизонтальной поверхности земли.

Слой снега, превышающий среднюю нормативную толщину, скапливается в ендовах и местах с близко расположенными слуховыми окнами. Во всех этих местах для дополнительной прочности устанавливаются спаренные стропильные ноги и сплошная обрешетка. Также здесь делаются подкровельные подложки из оцинкованной стали вне зависимости основного кровельного покрытия.

Скопление снега, образующееся с подветренной стороны, постепенно сползает и давит на свес крыши. Поэтому свес кровельного материала без обрешетки не должен превышать размеры, рекомендуемые изготовителями. Например для шиферной кровли свес материала, выходящего за границы стропильной системы, не должен превышать 10 см.

Ветровая нагрузка на кровлю

Направление преобладающего ветра определяется по розе ветров для конкретного региона строительства. Данная информация важна, так как:

  • При боковом давлении ветра воздушный поток сталкивается со стеной и крышей здания. У стены дома происходит завихрение потока, часть его уходит вниз к фундаменту, а другая — по касательной ударяет в карнизный свес.
  • Ветровой поток, воздействующий скат крыши, огибает по касательной конек кровли, захватывает воздух с подветренной стороны и устремляется прочь.

В итоге на крыше возникают три силы, способные сорвать ее и опрокинуть:

  • Две касательные с наветренной стороны.
  • Подъемная сила с подветренной стороны, образующаяся от разности давлений воздуха.
  • Еще одна сила (нормальная) от давления ветра воздействует перпендикулярно склону и старается вдавить скат крыши внутрь.

В зависимости от угла скатов нормальные и касательные силы изменяют свое значение. Чем круче крыше, тем большее значение принимают нормальные силы и меньшее касательные. Высокую крышу ветер старается опрокинуть.

На пологих влияние сил изменяется и преобладают касательные силы. Пологую крышу ветер старается приподнять, сорвать и унести.

Нормативное значение средней составляющей ветровой нагрузки (Wm) определяется по формуле:

Wm = Wo × k(z) × c, где:

  • Wo — расчетное значение ветрового давления по карте районирования территории.
  • k(z) — коэффициент, учитывающий изменение ветрового давления для конкретных высот(z).
  • — аэродинамический коэффициент, учитывающий изменение направления давления нормальных сил в зависимости от того, с какой стороны находится скат по отношению к ветру (подветренной или наветренной).

Рассмотрим каждую составную часть формулы и начнем с районирования территории по давлению ветра:

Таблица определения ветровой нагрузки местности:

Ветровой район Ветровая нагрузка Wo, кгс ⁄ м² (кПа)
Ia 17 (0,17)
I 23 (0,23)
II 30 (0,3)
III 38 (0,38)
IV 48 (0,48)
V 60 (0,6)
VI 73 (0,73)
VII 85 (0,85)

Коэффициент k, учитывающий изменение ветрового давления по высоте z, определяется по следующей таблице:

Высота z, м Коэффициент k для типов местности
А В С
≤ 5 0,75 0,5 0,4
10 1,0 0,65 0,4
20 1,25 0,85 0,55
40 1,5 1,1 0,8
60 1,7 1,3 1,0
80 1,85 1,45 1,15
100 2,0 1,6 1,25
150 2,25 1,9 1,55
200 2,45 2,1 1,8
250 2,65 2,3 2,0
300 2,75 2,5 2,2
350 2,75 2,75 2,35
≥ 480 2,75 2,75 2,75

Расшифровка типов местности:

  • А — открытые побережья морей, озер и водохранилищ. пустыни, степи, лесостепи, тундра.
  • В — городские территории, лесные массивы и другие местности, равномерно покрытые препятствиями высотой более 10 м.
  • С — городские районы с застройкой зданиями высотой более 25 м.

Значения аэродинамических коэффициентов ветровой нагрузки для участков крыши:

Уклон F G H I J
При ветре в скат крыши
15° -0,9; 0,2 -0,8; 0,2 -0,9; 0,2 -0,4 -1,0
30° -0,5; 0,7 -0,5; 0,2 -0,9; 0,2 -0,4 -0,5
45° 0,7 0,7 0,6 -0,2 -0,3
60° 0,7 0,7 0,7 -0,2 -0,3
75° 0,8 0,8 0,8 -0,2 -0,3
При ветре во фронтон
-1,8 -1,3 -0,7 -0,5
15° -1,3 -1,3 -0,6 -0,5
30° -1,1 -1,4 -0,8 -0,5
45° -1,1 -1,4 -0,9 -0,5
60° -1,1 -1,2 -0,8 -0,5
75° -1,1 -1,2 -0,8 -0,5

Знак «+» у аэродинамических коэффициентов определяет направление давления ветра на соответствующую поверхность (активное давление), знак «-» — от поверхности (отсос).

Наглядно расшифруем участки крыши F, G, H, I, J:

e в представленной выше схеме берется равным наименьшему значению b или 2h.

Подведем итог. Стропильная система крыши должна рассчитываться с учетом неблагоприятного сочетания нагрузок. Что это значит? Нужно закладывать в анализ максимальное количество снега на тяжелой черепичной кровле, сильный ветер, возможность перемещения по кровле людей с весом выше среднего. Все эти нагрузки суммируются и умножаются на коэффициент надежности 1,1 (дополнительные 10% прочности).

2.3. Расчет обрешетки. Сбор нагрузки

Вес листа СПК-8 определяем по прил. И g = 1500г/м2 = 0,015кПа.

Помещение бассейна - отапливаемое с относительной влажностью возду­ха 80% по прил. К относится к температурно-влажностным условиям эксплуа­тации A3. По прил. Л плотность древесины сосны в условиях -экспуатации A3 ρ=600 кг/м3, объемный вес - 6 кН/м3.

Поскольку в бассейне деревянные конструкции открыты для обзора и при­даны создавать эстетический комфорт - изготавливаем обрешетку из строга­ных брусков.

Припуски на острожку:

Размеры пиломатериалов до острожки приведены в прил. М. Для подсчета нагрузок предварительно принимаем сечение брусков до острожки – 60х100 мм. после острожки – 52х90 мм.

Значения коэффициент надежности по предельной нагрузке γ fm приведены в прил. I. Постоянная нагрузка на обрешетку подсчитана в т. 2.1.

Таблица 2.1 Расчетная постоянная нагрузка на обрешетку, кПа

Элементы и нагрузки

Эксплуатационное значение нагрузки

γfm

Предельное значение нагрузки

Лист СПК-8

0,015

1,2

0,018

Обрешетка 0,052х0,09х6/0,7

0,04

1,1

0,044

Крепежные детали

0,003

1,05

0,003

Всего

pобр.e=0,058

pобр.m=0,065

Нормальная составляющая расчетной предельной нагрузки на (сочетание постоянная плюс снеговая) при cosα=cos 18,70 =0,947

кН/м

Нормальная составляющая расчетного сочетания эксплуатационной постоянной и снеговой квазипостоянной нагрузок на обрешетку

кН/м

Нормальная составляющая сосредоточенной монтажной нагрузки Рm.x=1*1,2*0,947 = 1,07 кН.

Нормальная составляющая предельной расчетной постоянной нагрузки на обрешетку

кН/м2

Расчетное сопротивление древесины

Пo прил. П (т. 1) определяем расчетное coпротивление изгибу вдоль волокон для древесины сосны второго сорта .Для сосны и ели переходной коэффициент mп = 1.По прил. К для условий эксплуатации A3 выписываем коэффициент условий работы γn = 0,9.

По прил. Р определяем, что проектируемое здание относится к нормально­му (II) уровню ответственности и коэффициент надежности по назначению для него γп = 0.95.

Выполняем корректировку расчетного сопротивления древесины

кН/см2

Усилия в обрешетке

Расчетные схемы обрешетки показана на рис. 1.1.

Изгибающий момент в расчетном сечении при первом сочетании нагрузок

Изгибающий момент в расчетном сечении при втором сочетании нагрузок

Расчет обрешетки по прочности нормальных сечений

Требуемый момент сопротивления обрешетки при первом сочетании нагрузок

см3

При воздействии монтажной нагрузки расчетное сопротивление древесины увеличивается умножением на коэффициент mн = 1,2 (прил. П. табл.3). Тре­буемый момент сопротивления обрешетки но второму сочетанию нагрузок

см3

Размеры сечения подбираем по большему из двух требуемых моментов со­противления. По прил. М принимаем ширину бруска с учетом острожки b = 5.2 см и находим высоту сечения

см

По прил. М принимаем обрешетку из брусков сечением bxh: до острожки -6х7,5 см. после oc'i рожки - 5,2x6,5 см.

Проверка прогиба обрешетки

Из прил. О выписываем модуль упругости древесины вдоль волокон Е = 10000 МПа = 1000кН/см2:. Момент инерции сечения

Определяем максимальный прогиб обрешетки от нормальной составляющей сочетания постоянной и квазипостоянной снеговой расчетной погонной нагрузки

см

Предельный прогиб определяем по прил.С и предварительно берем мень­шее значение без интерполяции fu = l/150.

Относительное значение прогиба

Жесткость обрешетки обеспечена

Пример 2. Обрешетка

Рассчитать обрешетку мансардного покрытия жилого здания в г. Вологде. Кровля из натуральной черепицы. Обрешетка из сосновых брусков. Шаг стропил 1,0 м. Уклон кровли .

Предварительно примем обрешетку сечением 50х50 мм с шагом с=300 мм. Сбор нагрузки приведем в таблице 2.

Таблица 2

Сбор нагрузки на обрешетку, н/м2

Вид нагрузки

qн

q

Постоянная

1. Кровля из натуральной черепицы

2. Собственный вес обрешетки (ориентировочно)

500

42

1,1

1,1

550

46

Итого

=542

=596

Временная

  1. Снеговая

=1399

1,4

=1959

Всего: =1941 =2555

Погонная нагрузка:

.

Изгибающий момент

Моменты сопротивления бруска

Проверка прочности нормальных значений при косом изгибе:

Моменты инерции бруска:

Прогиб в плоскости, параллельный скату:

Прогиб в плоскости перпендикулярной скату:

Полный прогиб:

.

Относительный прогиб

.

Расчет по второму сочетанию нагрузок

Изгибающий момент

Проверка прочности нормальных сечений:

.

Следует увеличить сечение обрешетки и повторить расчет снова.

Пример 3. Стропила для здания с двумя пролетами

Рассчитать двускатные наслонные стропила жилого здания в г.Вологде под кровлю из оцинкованной стали. Основанием кровли служит дощатый настил 22х150 с шагом с=0,25 м. Шаг стропильных ног 1 м. Материал деревянных элементов – ель 2-го сорта.

1. Конструктивное решение покрытия принимаем следующее (рис. 5). Доски настила 1 размещены по стропильным ногам 2, которые нижними концами опираются на мауэрлаты 3, уложенные по внутреннему обрезу наружных стен, а верхними – на прогон – 4. Для уменьшения пролета стропильных ног поставлены подкосы 5, нижние концы которых упираются в лежень 6, укладываемый на внутреннюю стену. Для погашения распора стропильной системы установлены ригели – 7.

Примем угол наклона кровли тогда.

Высота стропил в коньке

.

Расчетный пролет

, где- величина привязки

.

Подкос направлен под углом (). Точка пересечения осей подкоса и стропильной ноги располагается на расстоянии.

.

.

q

Рис. 5. Наслонные стропила с подкосами

Длина верхнего и нижнего участков стропильной ноги

.

Длина подкоса

.

Угол между подкосом и стропильной ногой

.

а) Все элементы стропильной системы примем из бруса.

2. Производим сбор нагрузок на 1 м2 в табличной форме

Таблица 3

Сбор нагрузки на стропильную ногу, н/м2

Вид нагрузки

qн

q

Постоянная

1. Оцинкованная сталь

2. Настил

3. Собственный вес стропильной ноги (ориентировочно)

62,8

66,0

75,0

1,05

1,1

1,1

65,9

72,6

82,5

Итого

=203,8

=221,0

Временная

1. Снеговая

= 1680

1,4

S= 2352

Всего: = 1884 = 2573

Погонная нормативная нагрузка:

Погонная расчетная нагрузка

  1. Производим статический расчет стропильной ноги как двухпролетной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 5 в). Опасным сечением стропильной ноги является сечение на средней опоре. Изгибающий момент в этом сечении

.

Требуемый момент сопротивления сечения стропильной ноги с учетом ослабления врубкой

.

Примем ширину стропильной ноги , тогда

.

Учитывая, что величина врубки примерно 35 мм,

.

По сортаменту примем . Прочность сечения проверяем по формуле

,где .

Проверяем сечение в середине нижнего участка под действием пролетного момента . Значениеопределяем как для простой балки на двух опорах пролетом, считая в запас прочности, что вследствие возможной осадки среднего узла опорный момент будет равен нулю:

.

Проверяем напряжение

,

где

Проверку жесткости наклонной стропильной ноги производим по формуле

, где.

.

  1. Расчет подкоса и ригеля.

Вертикальная составляющая реактивного усилия на средней опоре стропильной ноги

.

Это усилие раскладывается на усилие , сжимающее подкос, и усилие, направленное вдоль стропильной ноги (рис. 5 б). Используя уравнение синусов, находим

,

откуда

.

Подкос примем сечением 100х100 мм. Вследствие небольшого сжимающего усилия подкос не рассчитываем, так как он будет работать с большим запасом. Расчетная длина подкоса . Проверим напряжение смятия во врубке.

Подкос упирается в стропильную ногу ортогональной лобовой врубкой. Угол смятия . Расчетное сопротивление смятию по [5]

Площадь смятия

.

Напряжение смятия

.

Горизонтальная составляющая усилия создает распор стропильной системы, который погашается ригелем.

Распор в ригеле:

.

Требуемая площадь ригеля

.

Примем конструктивно ригель из 2-хдосок 22х100 мм площадью 44 см2 >9,8 см2 . Ригель крепим к стропильной ноге гвоздями 5х120 мм.

Несущая способность одного гвоздя

.

Для восприятия усилия ставим по 4 гвоздя с каждой стороны.

Полная несущая способность соединения

.

Калькулятор комбинаций

(nCr)

Использование калькулятора

Калькулятор комбинаций найдет количество возможных комбинаций, которые можно получить, взяв образцы элементов из большего набора. По сути, он показывает, сколько различных возможных подмножеств можно сделать из большего набора. Для этого калькулятора порядок элементов, выбранных в подмножестве, не имеет значения.

Факториал
Есть! способы упорядочения n различных объектов в упорядоченную последовательность, перестановки, где n = r.
Комбинация
Количество способов выбрать выборку из r элементов из набора из n различных объектов, где порядок не имеет значения, а замены не допускаются.
Перестановка
Количество способов выбрать выборку из r элементов из набора из n различных объектов, где порядок имеет значение, а замены не допускаются. Когда n = r, это сводится к n !, простой факториал n.
Комбинированная замена
Количество способов выбрать выборку из r элементов из набора из n различных объектов, где порядок не имеет значения и допускается замена.
Замена перестановки
Количество способов выбрать выборку из r элементов из набора из n различных объектов, где порядок имеет значение и разрешены замены.
n
набор или население
г
подмножество n или набор образцов

Формула комбинаций:

\ (C (n, r) = \ dfrac {n!} {(R! (N - r)!)} \)

Для n ≥ r ≥ 0.

Формула показывает нам количество способов, которыми может быть получена выборка элементов «r» из большего набора различимых «n» объектов, где порядок не имеет значения и повторения не допускаются. [1] «Количество способов выбора r неупорядоченных результатов из n возможных». [2]

Также называется r-комбинацией или «n выбирает r» или Биномиальный коэффициент . В некоторых ресурсах в обозначении используется k вместо r, поэтому вы можете увидеть, что они называются k-комбинацией или «n выбирают k»."


Комбинированная задача 1

Выберите 2 приза из набора из 6 призов

Вы заняли первое место в конкурсе и можете выбрать 2 приза из таблицы, содержащей 6 призов с номерами от 1 до 6. Сколько различных комбинаций из 2 призов вы можете выбрать?

В этом примере мы берем подмножество из 2 призов (r) из большего набора из 6 призов (n).Глядя на формулу, мы должны вычислить «6 выбирают 2».

C (6,2) = 6! / (2! * (6-2)!) = 6! / (2! * 4!) = 15 возможных призовых комбинаций

15 возможных комбинаций: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2 , 5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6}, {4,5}, {4,6}, {5,6}


Комбинированная задача 2

Выберите 3 ученика из 25 класса

Учительница выберет 3 учеников из своего класса, чтобы они посоревновались в правописании пчелы.Она хочет выяснить, сколько уникальных команд по 3 человека можно создать из ее 25-го класса.

В этом примере мы берем подмножество из 3 студентов (r) из большего набора из 25 студентов (n). Глядя на формулу, мы должны вычислить «25 выбирают 3».

C (25,3) = 25! / (3! * (25-3)!) = 2300 Возможные команды


Комбинированная задача 3

Выберите 4 пункта меню из 18 пунктов меню

Ресторан просит некоторых постоянных посетителей выбрать из меню 4 любимых блюда.Если в меню есть 18 пунктов на выбор, сколько разных ответов могут дать покупатели?

Здесь мы берем подмножество из 4 пунктов (r) из более крупного меню из 18 пунктов (n). Следовательно, мы должны просто найти «18 выбирают 4.»

C (18,4) = 18! / (4! * (18-4)!) = 3060 Возможные ответы


Проблема с рукопожатием

В группе из n человек возможно различных рукопожатий?

Сначала давайте найдем всего возможных рукопожатий.То есть, если каждый человек пожимает руку один раз каждому другому человеку в группе, каково общее количество рукопожатий, которые происходят?

Можно предположить, что каждый человек в группе сделает в общей сложности n-1 рукопожатий. Поскольку есть n человек, всего будет n раз (n-1) рукопожатий. Другими словами, общее количество людей, умноженное на количество рукопожатий, которые может сделать каждый, будет общим количеством рукопожатий. В группе из 3 человек получится 3 (3-1) = 3 * 2 = 6.Каждый человек регистрирует 2 рукопожатия с двумя другими участниками группы; 3 * 2.

Всего рукопожатий = n (n-1)

Однако это включает каждое рукопожатие дважды (1 с 2, 2 с 1, 1 с 3, 3 с 1, 2 с 3 и 3 с 2), и поскольку исходный вопрос хочет знать, сколько различных рукопожатий возможно, мы должны разделить на 2, чтобы получить правильный ответ.

Всего различных рукопожатий = n (n-1) / 2

Проблема рукопожатия как проблема комбинаций

Мы также можем решить эту проблему рукопожатия как задачу комбинаций как C (n, 2).

n (объекты) = количество человек в группе
r (образец) = 2, количество людей, участвующих в каждом рукопожатии

Порядок элементов, выбранных в подмножестве, не имеет значения, поэтому для группы из 3 он будет считать 1 с 2, 1 с 3 и 2 с 3, но игнорировать 2 с 1, 3 с 1 и 3 с 2, потому что эти последние 3 являются дубликатами первых 3 соответственно.

\ (C (n, r) = \ dfrac {n!} {(R! (N - r)!)} \)

\ (C (n, 2) = \ dfrac {n!} {(2! (N - 2)!)} \)

расширение факториалов,

\ (= \ dfrac {1 \ times2 \ times3 ... \ times (n-2) \ times (n-1) \ times (n)}] {(2 \ times1 \ times (1 \ times2 \ times3 .. . \ times (n-2)))} \)

отмены и упрощения,

\ (= \ dfrac {(n-1) \ times (n)} {2} = \ dfrac {n (n-1)} {2} \)

, что соответствует уравнению выше.

Список литературы

[1] Цвиллинджер, Даниэль (главный редактор). Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 31-е издание New York, NY: CRC Press, p. 206, 2003.

Для получения дополнительной информации о комбинациях и биномиальных коэффициентах см. Wolfram MathWorld: Комбинация.

.

Калькулятор перестановок и комбинаций

Результат

Перестановки , n P r = = 30
Комбинации , n C

0 = 150006

0


Калькулятор связанной вероятности | Калькулятор размера выборки

Перестановки и комбинации являются частью раздела математики, называемого комбинаторикой, который включает изучение конечных дискретных структур.Перестановки - это особый выбор элементов в наборе, где важен порядок, в котором элементы расположены, в то время как комбинации включают выбор элементов без учета порядка. Например, типичный кодовый замок с технической точки зрения следует называть замком с перестановкой по математическим стандартам, поскольку важен порядок вводимых чисел; 1-2-9 - это не то же самое, что 2-9-1, тогда как для комбинации будет достаточно любого порядка этих трех чисел. Существуют различные типы перестановок и комбинаций, но калькулятор выше учитывает только случай без замены, также называемый без повторения.Это означает, что для приведенного выше примера кодового замка этот калькулятор не вычисляет случай, когда кодовый замок может иметь повторяющиеся значения, например 3-3-3.

Перестановки

Предоставленный калькулятор вычисляет одну из наиболее типичных концепций перестановок, в которой расположения фиксированного числа элементов r берутся из заданного набора n . По сути, это можно обозначить как r-перестановок n или частичных перестановок , обозначенных как n P r , n P r , P (n, r) , или P (n, r) среди других.В случае перестановок без замены рассматриваются все возможные способы, которыми элементы в наборе могут быть перечислены в определенном порядке, но количество вариантов уменьшается каждый раз, когда выбирается элемент, а не такой случай, как «комбинационная» блокировка. , где значение может встречаться несколько раз, например 3-3-3. Например, при попытке определить количество способов, которыми капитан команды и вратарь футбольной команды могут быть выбраны из команды, состоящей из 11 человек, капитан команды и вратарь не могут быть одним и тем же лицом, и однажды выбранные, должен быть удален из набора.Буквы с A по K будут представлять 11 различных членов команды:

А Б В Г Д Е Ж З И К 11 членов; А выбран капитаном

B C D E F G H I J K 10 членов; B выбран хранителем

Как можно видеть, первым был выбран A в качестве капитана из 11 начальных членов, но поскольку A не может быть капитаном команды, а также вратарём, A был удален из набора ранее. второй выбор вратаря B мог быть сделан.Полные возможности, если бы каждый член команды был указан, были бы 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × ... × 2 × 1, или 11 факториалов, записанных как 11 !. Однако, поскольку в этом случае были важны только выбранные капитан команды и вратарь, важны только первые два варианта: 11 × 10 = 110. Таким образом, уравнение для вычисления перестановок удаляет остальные элементы, 9 × 8 × 7 × ... × 2 × 1 или 9 !. Таким образом, обобщенное уравнение для перестановки можно записать как:

Или в данном случае конкретно:

11 P 2 = = = 11 × 10 = 110

Опять же, предоставленный калькулятор не вычисляет перестановки с заменой, но для любопытных приведено уравнение ниже:

n P r = n r

Комбинации

Комбинации связаны с перестановками в том смысле, что они, по сути, являются перестановками, в которых все избыточности удаляются (как будет описано ниже), поскольку порядок в комбинации не важен.Комбинации, как и перестановки, обозначаются разными способами, включая n C r , n C r , C (n, r) или C (n, r) , или чаще всего просто

. Как и в случае перестановок, предоставленный калькулятор учитывает только случай комбинаций без замены, а случай комбинаций с заменой не обсуждается. Снова используя пример футбольной команды, найдите количество способов выбрать 2 нападающих из команды из 11 человек.В отличие от случая, приведенного в примере перестановки, где сначала был выбран капитан, а затем вратарь, порядок, в котором выбираются нападающие, не имеет значения, поскольку они оба будут нападающими. Если снова обратиться к футбольной команде как к буквам A - K , то не имеет значения, будут ли выбраны нападающими A , а затем B или B , а затем A , только что они выбраны. Возможное количество аранжировок для всех n человек, просто n! , как описано в разделе перестановок.Чтобы определить количество комбинаций, необходимо удалить избыточность из общего количества перестановок (110 из предыдущего примера в разделе перестановок), разделив избыточность, которая в данном случае равна 2 !. Опять же, это связано с тем, что порядок больше не имеет значения, поэтому уравнение перестановки необходимо уменьшить на количество способов выбора игроков: A , затем B или B , затем A , 2 или 2! . Это дает обобщенное уравнение для комбинации, как для перестановки, деленной на число избыточностей, и обычно известно как биномиальный коэффициент:

Или в данном случае конкретно:

Имеет смысл, что существует меньше вариантов для комбинации, чем для перестановки, так как избыточности удаляются.Опять же, для любопытных, ниже приведено уравнение для комбинаций с заменой:

n C r =
(г + п -1)!
р! × (п - 1)!
.Калькулятор комбинаций и перестановок

Узнайте, сколько разных способов выбирать предметы.
Для более подробного объяснения формул, пожалуйста, посетите «Комбинации и перестановки».

Примечание. Здесь находится старая версия Flash.

Для более подробного объяснения, пожалуйста, посетите «Комбинации и перестановки».

Опытные пользователи!

Теперь вы можете добавить «Правила», которые уменьшат список:

Правило «имеет» , которое гласит, что определенные элементы должны быть включены (для включения записи).

Пример: имеет 2, a, b, c. означает, что запись должна иметь как минимум две из букв a, b и c.

Правило «нет» , которое означает, что некоторые элементы из списка не должны встречаться вместе.

Пример: no 2, a, b, c означает, что запись должна содержать , а не , две или более букв a, b и c.

Правило «шаблона» используется для наложения определенного шаблона на каждую запись.

Пример: шаблон c, * означает, что буква c должна быть первой (может следовать все остальное)

Поместите правило в отдельной строке:

Пример: правило "имеет"

a, b, c, d, e, f, g
имеет 2, a, b

Комбинации a, b, c, d, e, f, g, которые содержат не менее 2 из a, b или c

Правила в деталях

Правило "имеет"

За словом «имеет» следует пробел и число.Затем запятая и список элементов, разделенных запятыми.

Число говорит, сколько (минимум) из списка необходимо для того, чтобы этот результат был разрешен.

Пример имеет 1, a, b, c

Допускается, если имеется a , или b , или c , или a и b , или a и c , или b и c , или все три a, b и с .

Другими словами, он настаивает на том, чтобы в результате присутствовали a, b или c.

Итак, {a, e, f} принято, но {d, e, f} отклонено.

Пример имеет 2, a, b, c

Разрешит, если есть a и b , или a и c , или b и c , или все три a, b и c .

Другими словами, он настаивает на том, чтобы в результате было по крайней мере 2 из a, b или c.

Итак, {a, b, f} принято, но {a, e, f} отклонено.

Правило «нет»

Слово «нет», за которым следует пробел и число. Затем запятая и список элементов, разделенных запятыми.

Число указывает, сколько (минимум) из списка необходимо для отклонения.

Пример: n = 5, r = 3, Order = no, Replace = no

Что обычно дает:

{a, b, c} {a, b, d} {a, b, e} {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d } {b, c, e} {b, d, e} {c, d, e}

Но когда мы добавляем такое правило «нет»:

а, б, в, г, д, е, г
№ 2, а, б

Получаем:

{a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} {b, c, e} {b, d, e} {c, d, e }

Записи {a, b, c}, {a, b, d} и {a, b, e} отсутствуют, потому что правило говорит, что у нас не может быть 2 из списка a, b (имея a или b нормально, но не вместе)

Пример: № 2, а, б, в

Разрешает только это:

{a, d, e} {b, d, e} {c, d, e}

Он отклонил любые с a и b , или a и c , или b и c , или даже все три a, b и c .

Итак, {a, d, e) разрешено (только один из a, b и c находится в этом)

Но {b, c, d} отклоняется (у него 2 из списка a, b, c)

Пример: № 3, а, б, в

Разрешает все эти:

{a, b, d} {a, b, e} {a, c, d} {a, c, e} {a, d, e} {b, c, d} {b, c, e } {b, d, e} {c, d, e}

Только {a, b, c} отсутствует, потому что это единственный, у которого 3 из списка a, b, c

Правило "шаблона"

Слово «шаблон», за которым следует пробел и список элементов, разделенных запятыми.

Вы можете включить эти "особые" предметы:

  • ? (вопросительный знак) означает любой предмет. Это похоже на «подстановочный знак».
  • * (звездочка) означает любое количество элементов (0, 1 или более). Как "супер-шаблон".

Пример: узор?, C, *, f

Означает «любой элемент, за которым следует c, за которым следует ноль или более элементов, затем f»

Итак, {a, c, d, f} разрешено

И {b, c, f, g} также разрешены (между c и f нет элементов, и это нормально)

Но {c, d, e, f} нет, потому что перед c нет элемента.

Пример: сколькими способами можно выстроить Алекса, Бетти, Кэрол и Джона в ряд, с Джоном после Алекса.

Используйте: n = 4, r = 4, order = yes, replace = no.

Алекс, Бетти, Кэрол, Джон
узор *, Алекс, *, Джон

Результат:

{Алекс, Бетти, Кэрол, Джон} {Алекс, Бетти, Джон, Кэрол} {Алекс, Кэрол, Бетти, Джон} {Алекс, Кэрол, Джон, Бетти} {Алекс, Джон, Бетти, Кэрол} {Алекс, Джон , Кэрол, Бетти} {Бетти, Алекс, Кэрол, Джон} {Бетти, Алекс, Джон, Кэрол} {Бетти, Кэрол, Алекс, Джон} {Кэрол, Алекс, Бетти, Джон} {Кэрол, Алекс, Джон, Бетти} {Кэрол, Бетти, Алекс, Джон}

.{th} $ объект из набора, содержащего $ (n-1) $ различных объектов, тогда его можно выбрать в любой из $ (n-1) $ позиций в любой из перестановок $ (n-2) $ объектов. , так далее. Поэтому есть $$ п \ раз (п-1) \ раз (п-2) \ ldots \ раз 2 \ раз 1 = п! $$ возможные перестановки `n` объектов. $ n! $ читается как "n` факториал" и является стандартным обозначением для этого продукта. По договору 0 $! = 1. $ Если мы хотим выбрать «r» различных объектов из упорядоченного списка «n» объектов, и порядок, в котором мы выбираем объекты, имеет значение, то для первого объекта у нас есть «n» возможностей, и неважно, какой объект мы выбрал, для второго есть $ n-1 $ возможностей, для третьего есть $ n-2 $ возможностей, и так далее, с $ n- (r-1) $ возможностями для $ r ^ {th} $.Следовательно, есть $ P (n, r) $ способов выбрать объекты "r".

Комбинация: Количество различных комбинаций n объектов, взятых за один раз, определяется соотношением


Работа с перестановкой (nPr) и комбинацией (nCr) с шагами показывает полное пошаговое вычисление для нахождения количества способов, которыми мы можем выбрать $ 8 $ различных объектов из набора, содержащего $ 10 $ различных объектов, где порядок элементов важен. Для любых других значений общего количества объектов и размера выборки просто укажите два положительных целых числа и нажмите кнопку GENERATE WORK.Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор перестановок и комбинаций для создания работы, проверки результатов комбинаторики, вероятностных и статистических задач или эффективного выполнения домашних заданий. .

Калькулятор перестановок комбинаций

Комбинация - это выбор всего или части набор объектов, без с учетом порядка, в котором объекты выбрано.

Например, предположим, что у нас есть набор из трех букв: A, B и C. Мы можем спросить, сколькими способами мы можем выбрать 2 буквы из этого набора. Каждый возможный выбор был бы примером комбинации. Полный список возможных выбор будет: AB, AC и BC.

Когда статистики говорят о комбинациях, они используют особые терминология. Они описывают комбинации как n отдельных взятых объекта r вовремя. Перевод: n относится к количеству объектов, из которых образуется комбинация; и r относится к количеству объектов, используемых для образуют комбинацию. Рассмотрим пример из предыдущего абзаца. В комбинации составлялись из 3 букв (A, B и C), поэтому n = 3; а также каждая комбинация состояла из 2 букв, поэтому r = 2.

Обратите внимание, что AB и BA считаются одной комбинацией, потому что порядок, в котором выбираются объекты, не имеет значения. Это ключ различие между комбинацией и перестановка. Комбинация ориентирована на выделение объектов без с учетом порядка, в котором они выбраны. Перестановка, напротив, фокусируется на расположении объектов с с учетом порядка, в котором они устроены.

Пример подсчета количества комбинаций см. Пример задачи 2.

.

Как рассчитать корреляцию

  1. Образование
  2. Математика
  3. Статистика
  4. Как вычислить корреляцию

Дебора Дж. Рамси

Может ли одна статистика измерить силу и направление линейной связи между двумя переменные? Конечно! Статистики используют коэффициент корреляции для измерения силы и направления линейной зависимости между двумя числовыми переменными X и Y .Коэффициент корреляции для выборки данных обозначен как r.

Хотя определение улиц корреляции применяется к любым двум взаимосвязанным элементам (таким как пол и политическая принадлежность), статистики используют этот термин только в контексте двух числовых переменных. Формальный термин для обозначения корреляции - это коэффициент корреляции . Было создано множество различных мер корреляции; тот, который используется в этом случае, называется коэффициентом корреляции Пирсона .

Формула корреляции ( r ):

, где n - количество пар данных;

- это выборочные средние для всех значений x и всех значений y соответственно; и s x и s y являются стандартными отклонениями выборки для всех

.

Смотрите также