Расчет на прочность ферм

Основы расчёта ферм: ручной и машинный счёт

Фермами называют плоские и пространственные стержневые конструкции с шарнирными соединениями элементов, загружаемые исключительно в узлах. Шарнир допускает вращение, поэтому считается, что стержни под нагрузкой работают только на центральное растяжение-сжатие. Фермы позволяют значительно сэкономить материал при перекрытии больших пролётов.

Рисунок 1

Фермы классифицируются:

• по очертанию внешнего контура;
• по виду решётки;
• по способу опирания;
• по назначению;
• по уровню проезда транспорта.

Также выделяют простейшие и сложные фермы. Простейшими называют фермы, образованные последовательным присоединением шарнирного треугольника. Такие конструкции отличаются геометрической неизменяемостью, статической определимостью. Фермы со сложной структурой, как правило, статически неопределимы.

Для успешного расчёта необходимо знать виды связей и уметь определять реакции опор. Эти задачи подробно рассматриваются в курсе теоретической механики. Разницу между нагрузкой и внутренним усилием, а также первичные навыки определения последних дают в курсе сопротивления материалов.

Рассмотрим основные методы расчёта статически определимых плоских ферм.

Способ проекций

На рис. 2 симметричная шарнирно-опёртая раскосная ферма пролётом L = 30 м, состоящая из шести панелей 5 на 5 метров. К верхнему поясу приложены единичные нагрузки P = 10 кН. Определим продольные усилия в стержнях фермы. Собственным весом элементов пренебрегаем.

Рисунок 2

Опорные реакции определяются путём приведения фермы к балке на двух шарнирных опорах. Величина реакций составит R (A) = R (B) = ∑P/2 = 25 кН. Строим балочную эпюру моментов, а на её основе — балочную эпюру поперечных усилий (она понадобится для проверки). За положительное направление принимаем то, что будет закручивать среднюю линию балки по часовой стрелке.

Рисунок 3

Метод вырезания узла

Метод вырезания узла заключается в отсечении отдельно взятого узла конструкции с обязательной заменой разрезаемых стержней внутренними усилиями с последующим составлением уравнений равновесия. Суммы проекций сил на оси координат должны равняться нулю. Прикладываемые усилия изначально предполагаются растягивающими, то есть направленными от узла. Истинное направление внутренних усилий определится в ходе расчёта и обозначится его знаком.

Рационально начинать с узла, в котором сходится не более двух стержней. Составим уравнения равновесия для опоры, А (рис. 4).

∑ F (y) = 0: R (A) + N (A-1) = 0

∑ F (x) = 0: N (A-8) = 0

Очевидно, что N (A-1) = -25кН. Знак «минус» означает сжатие, усилие направлено в узел (мы отразим это на финальной эпюре).

Условие равновесия для узла 1:

∑ F (y) = 0: -N (A-1) — N (1−8)∙cos45° = 0

∑ F (x) = 0: N (1−2) + N (1−8)∙sin45° = 0

Из первого выражения получаем N (1−8) = -N (A-1)/cos45° = 25кН/0,707 = 35,4 кН. Значение положительное, раскос испытывает растяжение. N (1−2) = -25 кН, верхний пояс сжимается. По этому принципу можно рассчитать всю конструкцию (рис. 4).

Рисунок 4

Метод сечений

Ферму мысленно разделяют сечением, проходящим как минимум по трём стержням, два из которых параллельны друг другу. Затем рассматривают равновесие одной из частей конструкции. Сечение подбирают таким образом, чтобы сумма проекций сил содержала одну неизвестную величину.

Проведём сечение I-I (рис. 5) и отбросим правую часть. Заменим стержни растягивающими усилиями. Просуммируем силы по осям:

∑ F(y) = 0: R(A) — P + N(9−3)

N(9−3) = P — R(A) = 10 кН — 25 кН = -15 кН

Стойка 9−3 сжимается.

Рисунок 5

Способ проекций удобно применять в расчётах ферм с параллельными поясами, загруженными вертикальной нагрузкой. В этом случае не придётся вычислять углы наклона усилий к ортогональным осям координат. Последовательно вырезая узлы и проводя сечения, мы получим значения усилий во всех частях конструкции. Недостатком способа проекций является то, что ошибочный результат на ранних этапах расчёта повлечёт за собой ошибки во всех дальнейших вычислениях.

Способ моментной точки

Способ моментной точки требует составлять уравнение моментов относительно точки пересечения двух неизвестных сил. Как и в методе сечений, три стержня (один из которых не пересекается с остальными) разрезаются и заменяются растягивающими усилиями.

Рассмотрим сечение II-II (рис. 5). Стержни 3−4 и 3−10 пересекаются в узле 3, стержни 3−10 и 9−10 пересекаются в узле 10 (точка K). Составим уравнения моментов. Суммы моментов относительно точек пересечения будут равняться нулю. Положительным принимаем момент, вращающий конструкцию по часовой стрелке.

∑ m(3) = 0: 2d∙R(A) — d∙P — h∙N(9−10) = 0

∑ m(K) = 0: 3d∙R(A) — 2d∙P — d∙P + h∙N(3−4) = 0

Из уравнений выражаем неизвестные:

N(9−10) = (2d∙R(A) — d∙P)/h = (2∙5м∙25кН — 5м∙10кН)/5м = 40 кН (растяжение)

N(3−4) = (-3d∙R(A) + 2d∙P + d∙P)/h = (-3∙5м∙25кН + 2∙5м∙10кН + 5м∙10кН)/5м = -45 кН (сжатие)

Способ моментной точки позволяет определить внутренние усилия независимо друг от друга, поэтому влияние одного ошибочного результата на качество последующих вычислений исключено. Данным способом можно воспользоваться в расчёте некоторых сложных статически определимых ферм (рис. 6).

Рисунок 6

Требуется определить усилие в верхнем поясе 7−9. Известны размеры d и h, нагрузка P. Реакции опор R(A) = R(B) = 4,5P. Проведём сечение I-I и просуммируем моменты относительно точки 10. Усилия от раскосов и нижнего пояса не попадут в уравнение равновесия, так как сходятся в точке 10. Так мы избавляемся от пяти из шести неизвестных:

∑ m(10) = 0: 4d∙R(A) — d∙P∙(4+3+2+1) + h∙O(7−9) = 0

O(7−9) = -8d∙P/h

Аналогично можно рассчитать остальные стержни верхнего пояса.

Признаки нулевого стержня

Нулевым называют стержень, в котором усилие равно нулю. Выделяют ряд частных случаев, в которых гарантированно встречается нулевой стержень.

• Равновесие ненагруженного узла, состоящего из двух стержней, возможно только в том случае, если оба стержня нулевые.
• В ненагруженном узле из трёх стержней одиночный (не лежащий на одной прямой с остальными двумя) стержень будет нулевым.

Рисунок 7

• В трехстержневом узле без нагрузки усилие в одиночном стержне будет равно по модулю и обратно по направлению приложенной нагрузке. При этом усилия в стержнях, лежащих на одной прямой, будут равны друг другу, и определятся расчётом N(3) = -P, N(1) = N(2).
• Трехстержневой узел с одиночным стержнем и нагрузкой, приложенной в произвольном направлении. Нагрузка P раскладывается на составляющие P' и P" по правилу треугольника параллельно осям элементов. Тогда N(1) = N(2) + P', N(3) = -P".

Рисунок 8​

• В ненагруженном узле из четырёх стержней, оси которых направлены по двум прямым, усилия будут попарно равны N(1) = N(2), N(3) = N(4).

Пользуясь методом вырезания узлов и зная правила нулевого стержня, можно проводить проверку расчётов, проведённых другими методами.

Расчёт ферм на персональном компьютере

Современные вычислительные комплексы основаны на методе конечного элемента. С их помощью осуществляют расчёты ферм любого очертания и геометрической сложности. Профессиональные программные пакеты Stark ES, SCAD Office, ПК Лира обладают широким функционалом и, к сожалению, высокой стоимостью, а также требуют глубокого понимания теории упругости и строительной механики. Для учебных целей и подойдут бесплатные аналоги, например Полюс 2.1.1.

В Полюсе можно рассчитывать плоские статически определимые и неопределимые стержневые конструкции (балки, фермы, рамы) на силовое воздействие, определять перемещения и температурное воздействие. Перед нами эпюра продольных усилий для фермы, изображённой на рис. 2. Ординаты графика совпадают с полученными вручную результатами.

Рисунок 9

Порядок работы в программе Полюс

• На панели инструментов (слева) выбираем элемент «опора». Размещаем помещаем элементы на свободное поле кликом левой кнопки мыши. Чтобы указать точные координаты опор, переходим в режим редактирования, нажав на значок курсора на панели инструментов.
• Двойной клик по опоре. Во всплывающем окне «свойства узла» задаём точные координаты в метрах. Положительное направление осей координат — вправо и вверх соответственно. Если узел не будет использоваться в качестве опоры, установите флажок «не связан с землёй». Здесь же можно задать приходящие в опору нагрузки в виде точечной силы или момента, а также перемещения. Правило знаков такое же. Удобно разместить крайнюю левую опору в начале координат (точка 0, 0).
• Далее размещаем узлы фермы. Выбираем элемент «свободный узел», кликаем по свободному полю, точные координаты прописываем для каждого узла в отдельности.
• На панели инструментов выбираем «стержень». Кликаем на начальном узле, отпускаем кнопку мышки. Затем кликаем на конечном узле. По умолчанию стержень имеет шарниры на двух концах и единичную жёсткость. Переходим в режим редактирования, двойным кликом по стержню открываем всплывающее окно, при необходимости изменяем граничные условия стержня (жёсткая связь, шарнир, подвижный шарнир для опорного конца) и его характеристики.
• Для загружения ферм используем инструмент «сила», нагрузка прикладывается в узлах. Для сил, прикладываемых не строго вертикально или горизонтально, устанавливаем параметр «под углом», после чего вводим угол наклона к горизонтали. Альтернативно можно сразу ввести значение проекций силы на ортогональные оси.
• Программа считает результат автоматически. На панели задач (вверху) можно переключать режимы отображения внутренних усилий (M, Q, N), а также опорных реакций (R). Результатом будет эпюра внутренних усилий в заданной конструкции.

В качестве примера рассчитаем сложную раскосную ферму, рассмотренную в методе моментной точки (рис. 6). Примем размеры и нагрузки: d = 3м, h = 6м, P = 100Н. По выведенной ранее формуле значение усилия в верхнем поясе фермы будет равно:

O(7−9) = -8d∙P/h = -8∙3м∙100Н/6м = -400 Н (сжатие)

Эпюра продольных усилий, полученная в Полюсе:

Рисунок 10

Значения совпадают, конструкция смоделирована верно.

Список литературы

1. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. — Строительная механика: учебник для строительных специализированных вузов — М.: Высшая школа, 1986.
2. Рабинович И. М. — Основы строительной механики стержневых систем — М.: 1960.

Фермы из профильной трубы: расчет, сварка, самостоятельное изотовление

Сегодня фермы из профильной трубы по праву считаются идеальным решением для строительства гаража, жилого дома и приусадебных построек. Прочные и долговечные, такие конструкции обходятся недорого, быстры в исполнении, и с ними способен справиться любой, кто хоть немного разбирается в математике и имеет навыки резки и сварки металла.

А как правильно подобрать профиль, рассчитать ферму, сделать в ней перемычки и установить, мы сейчас подробно расскажем. Для этого мы подготовили подробные мастер-классы изготовления ферм, видео-уроки и ценные советы от наших экспертов.

Итак, что такое ферма? Это конструкция, которая связывает опоры в единое целое. Среди ее преимуществ: высокая прочность, отличные показатели эксплуатации, невысокая стоимость и хорошая устойчивость к деформациям и внешним нагрузкам.

Благодаря тому, что такие фермы обладают высокой несущей способностью, их ставят под любые кровельные материалы, независимо от их веса.

Использование в строительстве металлических ферм из прямоугольных замкнутых профилей считается одним из самых рациональных решений. И неспроста:

1. Главный секрет в экономии, благодаря удобному соединению всех элементов решетки.
2. Еще одно ценное преимущество профильных труб для ферм – это равная устойчивость в двух плоскостях, замечательная обтекаемость и удобство эксплуатации.
3. При своем малом весе такие фермы выдерживают серьезные нагрузки.

Отличаются стропильные фермы по очертанию поясов, типу сечения стержней и видам решетки. И при правильном подходе вы самостоятельно сможете сварить и установить ферму из профильной трубы любой сложности. Даже такую:

Итак, прежде, чем составить проект будущих ферм, сначала нужно определиться с такими важными пунктами, как:

• контуры, размер и форма будущей крыши;
• материал изготовления верхнего и нижнего поясов фермы, а также ее решетки;
• угол наклона и планируемая нагрузка.

Запомните одну простую вещь вещь: у каркаса из профильной трубы есть так называемые точки равновесия,  которые важно определить для устойчивости всей фермы. И очень важно подобрать под эту нагрузку качественный материал:

Профильные трубы для ферм бывают двух видов сечений: прямоугольного или квадратного. Выпускаются они разного диаметра, с разной толщиной стенок:

• Для малогабаритных построек мы рекомендуем трубы до 4,5 метров длиной, сечением 40х20х2 мм.
• Если вы будете изготавливать фермы длиннее 5 метров, тогда выбирайте профиль с параметрами 40х40х2 мм.
• Для полномасштабного строительства крыши жилого дома вам понадобятся профильные трубы с такими параметрами: 40х60х3 мм.

Устойчивость всей конструкции прямо пропорциональна толщине профиля, поэтому для изготовления ферм не используйте трубы, предназначенные для стоек и каркасов. Также обратите внимание, каким именно методом было изготовлено изделие: электросв

Расчет фермы онлайн калькулятор - Кровля крыш

При строительстве или проектировании навеса или кровли в качестве несущего элемента часто используется ферма, но мало кто знает, какие задать сечения стержней и рационально ли применять данное сечение. На эти вопросы Вам поможет ответить данный калькулятор фермы.

Ферма может быть как деревянной, так и металлической. В этом калькуляторе представлены два этих материала на Ваш выбор. Их обязательно нужно выбрать на 4 шаге!

При выборе металлической фермы среди сечений можно найти профильные квадратные и прямоугольные трубы, уголок и различные его сечения, швеллер и круглые трубы. При выборе деревянной фермы – круг, квадрат и прямоугольник.

Материал: металлдерево

Порядок работы:

1. Шаг 1. Вид фермы. Выберите необходимый вид вашей фермы и нажмите на следующий шаг

2. Шаг 2. Геометрия фермы.
a. Задайте схему фермы. В данном шаге можно поменять расположение стоек и раскосов для разных длин ферм
b. Задайте пролет фермы L
c. Задайте высоту фермы H либо угол а
d. При необходимости надо задать высоту фермы на опоре h2
e. Нажать на следующий шаг

3. Шаг 3. Нагрузки на ферму. Задайте сосредоточенную нагрузку на узлы фермы и нажмите на следующий шаг либо выберите "Задать нагрузку на площадь" и задайте распределенную нагрузку на 1м2 и шаг между фермами. Сосредоточенная нагрузка P на узел при этом пересчитается.

4. Шаг 4. Сечение и материал фермы.
a. Задайте материал фермы: сталь или дерево
b. Задайте сечение элементов фермы и класс/сорт материала данных элементов (при необходимости можете нажать на кнопку «для всех » и сечение/класс/сорт в 1-ой строке будет продублирован для всех строк)
c. Нажать на следующий шаг

5. Шаг 5. Связи. Согласно рисунку расставить точки раскрепления узлов из плоскости фермы. Раскреплением из плоскости может служить как связь между фермами, так и прогоны

На рисунке видно, что узлы №1 и №3 из плоскости раскреплены прогонами (голубые), узлы №2 раскреплены горизонтальными связями по нижнему поясу (коричневые), а узел №4 ничем не раскреплен

6. Шаг 6. Результат расчета. Нажать на кнопку «Расчет»

Все полученные значения будут сведены в таблицу ниже, в которой вы сможете узнать следующие значения:

1. Расчетные усилия в стержнях фермы (если стержень сжат – значение отрицательное, если стержень растянут – положительное, если значение равно нулю – значит, это нулевой стержень и сечение принимайте конструктивно)
2. Сечение стержней фермы. Рядом с каждым сечением будут кнопки « - » и « + », которыми можно уменьшать либо увеличивать сечение стержня.
3. Запас по прочности/устойчивости (расчет считает с минимальным запасом в 50%). Если запас подсвечен красным и равен нулю – принимать такое сечение нельзя, и надо либо менять схему фермы, либо задавать другое сечение.
4. Гибкость стержня. Немаловажный параметр, который также ограничивает принимаемые сечения стержней фермы. Если гибкость равна «NO» или подсвечена красным – принимать такое сечение нельзя, и надо либо менять схему фермы, либо задавать другое сечение.
5. Ориентировочная масса фермы. При расчете данной величины учтите, что сечение стержней фермы предварительно надо унифицировать (привести к схожим сечениям стержней)

Для справки:
- плотность дерева принята 500 кг/м3
- плотность стали - 7850 кг/м3
- все узлы фермы шарнирные
- опоры фермы – шарнирно неподвижная слева и шарнирно подвижная справа

- при проектировании/строительстве при необходимости обеспечить устойчивость фермы из плоскости путем установки связей между фермами (сделать это можно в шаге №5 "Связи")

Если данный калькулятор фермы оказался Вам полезен – не забывайте делиться им с друзьями и коллегами ссылкой в соц.сети, а также посмотреть другие строительные калькуляторы онлайн, они простые, но здорово облегчают жизнь строителям и тем, кто решил сам строить свой дом с нуля.

Беляева_Расчет и проектирование.indd

%PDF-1.3 % 1 0 obj >]/Pages 3 0 R/Type/Catalog/ViewerPreferences>>> endobj 2 0 obj >stream 2019-11-11T15:20:54+05:002019-11-11T15:21:31+05:002019-11-11T15:21:31+05:00Adobe InDesign CS6 (Windows)uuid:3226a5ca-cfbf-4075-b9b5-93cb6424310cxmp.did:A3EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cxmp.id:212888606C04EA119267D73F75A3E5C0proof:pdf1xmp.iid:1F2888606C04EA119267D73F75A3E5C0xmp.did:A7EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cxmp.did:A3EFBA1FB752E4118BF5AA137F15CC0Cdefault

Расчет статически определимой фермы | ПроСопромат.ру

Статически определимая ферма. Задача. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d=2м; h=3м; ℓ=16м; F=5кН.

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции R_А и R_В.

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

Если загрузка фермы несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесия ∑М_А=0 (находим R_В), ∑М_В=0 (находим R_А), ∑у=0 (проверка).

Теперь обозначим элементы фермы:

«О» — стержни верхнего пояса (ВП),

«U» — стержни нижнего пояса (НП),

«V» — стойки,

«D» — раскосы.

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О₄ — усилие в стержне верхнего пояса; D₂ – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О₂, D₁, U₂ (стержни второй панели), усилие в стойке V₂, а также усилие в срединной стойке V₄ . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

1. Метод моментной точки (метод Риттера),
2. Метод проекций,
3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О₂, D₁, U₂. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О₂.

Моментной точкой для О₂будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D₁ и U₂ .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

О₂мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О₂ – сжат.

Далее в скобках будет указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

Определяем усилия в стержне U₂. Для U₂  моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня — О₂ и D₁.

Теперь определяем моментную точку для D₁. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О₂ и U₂ не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D₁ потребуется знать угол α. Определим его.

Определим усилие в правой стойке V₂. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни  О₃, V₂, U₂. Рассмотрим левую часть.

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.

Теперь определим усилие в срединной стойке V₄. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов. Стойка V₄ примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V₄ направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

∑х=0,   -U₄+ U₅=0,   U₄= U₅

∑у=0,    V₄=0.

Таким образом, стержень V₄ - нулевой.

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0.

Правила определения нулевых стержней — смотреть здесь.

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения.

Расчет прямоугольной фермы - Доктор Лом

Рисунок 293.1. Общая предварительная схема арочной галереи.

В целом, если изготовление ферм планируется из одного-двух типоразмеров профиля, то расчет такой прямоугольной фермы много времени не займет.

Сосредоточенными нагрузками для данных прямоугольных ферм будут опорные реакции для рассчитывавшихся ранее арочных ферм. Эти нагрузки Q будут приложены в узлах фермы, как показано на рисунке 554.1.б). Общая геометрия фермы показана на рисунке 554.1.а):

Рисунок 554.1. Общая геометрия и расчетные схемы для прямоугольной фермы.

Для упрощения расчетов длины всех пролетов между узлами в верхнем поясе приняты одинаковыми.

Определение усилий в стержнях фермы

Расчет ферм будет производиться методом сечений, основные положения которого изложены отдельно.

Когда мы рассчитывали арочные фермы, то выяснили, что опорные реакции у этих ферм могут быть разными в зависимости от рассматриваемого варианта снеговой нагрузки. Для дальнейших расчетов примем максимально возможное значение опорных реакций, тогда нагрузки на ферму от арочных ферм будут Q = 796.1 кг.

Кроме того на ферму будет действовать равномерно распределенная нагрузка от собственного веса фермы, к тому же изначально нам не известная, а это означает, что ферму следует дополнительно рассчитать на эту нагрузку. Однако с учетом того, что собственный вес фермы будет относительно небольшой, то для упрощения расчетов эту распределенную нагрузку от собственного веса можно условно привести к сосредоточенным в узлах фермы. Например, если ферма будет весить около 28 кг, то дополнительные сосредоточенные нагрузки составят 28/7 = 4 кг, тогда расчетные нагрузки составят:

Q = 796.1 + 4 ≈ 800 кг

Так как у нас симметричная ферма, к которой одинаковые нагрузки также приложены симметрично, то опорные реакции будут равны между собой и составят:

V_A = V_B = 7Q/2 = 7·800/2 = 2800  кгс

Значение горизонтальной составляющей опорной реакции на опоре А будет равно нулю, так как горизонтальных нагрузок в нашей расчетной схеме нет, поэтому горизонтальная составляющая реакции на опоре А показана на рисунке 554.1.в) бледно фиолетовым цветом. 

Также на рисунке 554.1.в) показаны сечения, по которым можно рассчитать усилия во всех стержнях фермы с учетом симметричности фермы и нагрузок. Далее будет рассматриваться расчет только по 4 сечениям.

Маркировка, показанная на рисунке 554.1.г) означает, что у фермы есть:

Стержни нижнего пояса: 1-а, 1-в, 1-д, 1-ж;

Стержни верхнего пояса: 3-б, 3-г, 3-е;

Стойка: 2-а;

Раскосы: а-б, б-в, в-г, г-д, д-е, е-ж.

При необходимости для маркировки стержней, симметричных указанным, можно использовать апостроф '.

Если стоит задача рассчитать все стержни фермы, то лучше составить таблицу, в которую вносятся все стержни фермы. Затем в эту таблицу будут внесены результаты расчетов, в частности значения сжимающих или растягивающих напряжений.

Во всех сечениях, показанных на рисунке 554.1, силы N направлены так, что вызывают растяжения в рассматриваемых стержнях. Если по результатам расчетов усилие в рассматриваемом стержне будет отрицательным, то это означает, что в этом стержне будут действовать сжимающие нормальные напряжения.

Приступим к рассмотрению сечений.

сечение II-II (рис. 554.1.е)

Составим уравнение моментов относительно узла 3, это позволит определить усилие в стержне 3-б:

М₃ = V_Al - Ql + N_3-бh = 0;

N_3-бh =Ql - V_Al;

где l - плечо действия силы Q и опорной реакции V_A, равное расстоянию от узла 1 до узла 3 по горизонтали, согласно принятой нами расчетной схемы l = 0.525 м; h - плечо действия силы N_3-a, равное высоте фермы, в данном случае h = 0.4м. Это означает, что в действительности общая высота фермы с учетом сечений верхнего и нижнего пояса будет немного больше, так как в данном случае высота - это расстояние между нейтральными осями верхнего и нижнего поясов.

Тогда:

N_3-б =(Ql - V_Al)/h = ((800 - 2800)0.525)/0.4 = - 2625 кг

Чтобы определить напряжения в стержне а-б составим уравнение моментов относительно узла 1:

М₁ = N_а-бh' + N_3-бh = 0;

N_a-б = 2625·0.4/0.318 = 3300.4 кг

В данном случае h' - плечо приложения силы N_а-б - это высота прямоугольного треугольника. Плечо было определено следующим образом, сначала вычисляется значение угла а между стержнями 1-а и а-б.

tga = 0.4/0.525 = 0.762

где 0.4 и 0.525 - длины стержней - катетов прямоугольного треугольника.

a = 37.3°

тогда

h' = 0.525sina = 0.525·0.606 = 0.318 м

Усилия в стержне 1-а будут равны нулю, в чем легко убедиться,составив уравнение моментов относительно узла 2:

М₂ =- N_1-а·0.4 = 0;

Проверим правильность вычислений, составив уравнения проекций сил на основные оси:

ΣQ_y = - Q₁ +V_A - N_a-бsin37.3^о = -800 +2800 - 3300.4·0.606 = 0.004 кг

ΣQ_x = N_3-б + N_a-бсos37.3^o = -2625 + 3300.4·0.795 = 0.38 кг

Небольшая погрешность в вычислениях набежала из-за того, что вычисления ведутся с точностью до одного знака после запятой, а в значениях тригонометрических функций указываются только 3-4 знака после запятой. Но в данном случае большая точность и не нужна. В целом при таких нагрузках, на погрешность до 1 кг можно не обращать внимания.

сечение VII-VII (рис. 554.1.д)

Для определения усилий в стержне 1-ж составим уравнение моментов относительно узла 8:

М₈ = -Q(1.05 + 2.1 + 3.15) + 3.15V_A - 0.4N_1-ж = 0;

N_1-ж = (-6.3·800 + 3.15·2800)/0.4 = 9450 кг

Для определения усилий в стержне 3-е составим уравнение моментов относительно узла 7:

М₇ = -Q(0.525 + 1.575 + 2.625) + 2.625V_A + 0.4N_3-е = 0;

N_3-е = (800·4.725 - 2800·2.625)/0.4 = - 8925 кг (работает на сжатие)

Для определения усилий в стержне е-ж составим уравнение моментов относительно узла 9:

М₉ = -Q(1.575 + 2.625 + 3.675) + 3.675V_A + 0.4N_3-е + 0.636N_е-ж = 0;

N_е-ж = (800·7.875 - 2800·3.675 + 0.4·8925)/0.6363 = - 660 кг 

Проверим правильность расчетов

ΣQ_х = N_3-е + N_1-ж + N_е-жcos37.3° =- 8925 + 9450 - 660·0.7955 = 0.012 кг

Для лучшего представления общей картины проверим еще пару сечений

сечение VI-VI (рис. 554.1.ж)

Для определения усилий в стержне 1-д составим уравнение моментов относительно узла 6:

М₆ = -Q(1.05 + 2.1)+ 2.1V_A - 0.4N_1-д = 0;

N_1-д = (- 3.15·800 + 2.1·2800)/0.4 = 8400 кг

Для определения усилий в стержне д-е составим уравнение моментов относительно узла 5:

М₅ = 1.575(-Q + V_A)+ 0.4N_3-е + 0.6363N_д-е = 0;

N_д-е = (1.575(800 - 2800) + 0.4·8925)/0.6363 = 660 кг

Проверим правильность расчетов, определив проекции сил на ось х:

ΣQ_x = N_3-е + N_1-ж + N_д-еcos37.3° = -8925 + 8400 + 660·0.7955  = 0.06 кг;

сечение III-III 

Усилия в стержне 3-б нам уже известны, поэтому для определения усилий в стержне б-в составим уравнение моментов относительно узла 5:

М₅ = -1.575Q + 1.575V_A - 0.4N_3-б + 0.6363N_б-в = 0;

N_б-в = (1.575(800 - 2800) + 0.4·2625)/0.6363 = -3300.4 кг

Усилие в стержне 1-в будет явно значительно меньше, чем в стержне 1-ж и потому в данном случае оно нас не интересует, так как мы планируем делать нижний пояс из трубы одного сечения. А чтобы определить правильность расчетов в данном случае определим проекции сил на ось у:

ΣQ_y = - Q₁ +V_A + N_б-вsin37.3^о = -800 +2800 - 3300.4·0.606 = 0.04 кг

Теперь у нас есть все основные данные для дальнейшего расчета

Подбор сечения

На первый взгляд самым загруженным является стержень нижнего пояса 1-ж, на который действует продольная растягивающая сила N_1-ж = 9450 кг. Однако напряжения в сжатом стержне 3-е в результате продольного изгиба могут быть даже больше, поэтому в первую очередь проверим прочность именно этого стержня по следующей формуле:

σ = N/φF ≤ R

где φ - коэффициент продольного изгиба, F - площадь сечения профиля, см, R - расчетное сопротивление материала профиля. Если расчетное сопротивление стали зараннее не известно, то для надежности рекомендуется принимать одно из минимальных R = 2300 кг/см².

Расчет сжатых стержней ничем не отличается от расчета колонн, поэтому далее приводятся только основные этапы расчета без подробных пояснений.

по таблице 1 (см. ссылку выше) определяем значение μ = 1, это значение будет наиболее оптимальным с учетом рекомендаций нормативных документов, в частности СНиП II-23-81*(1990) "Стальные конструкции", а также того, что основные нагрузки к ферме приложены именно в узлах.

Предварительно определим площадь сечения профиля. Для растянутого стержня 1-ж эта площадь составит:

F = N/R = 9450/2300 = 4.11 см²

По сортаменту для прямоугольных профильных труб этому требованию удовлетворяет труба сечением 50х30х3 мм, площадь сечения такой трубы составит F = 4.21 см², минимальный радиус инерции i = 1.16 см. Проверим, подходит ли эта труба для сжатого верхнего пояса фермы, так как делать пояса из труб разного сечения - дополнительное усложнение технологии, мало оправданное при таких малых объемах работ, всего-то нужно сделать 2 фермы.

При радиусе инерции i = 1.14 см, значение коэффициента гибкости составит

λ = μl/i = 1·105/1.16 = 90.5 ≈ 90

тогда по таблице 2 коэффициент изгиба φ = 0.629 (определяется интерполяцией значений 2050 и 2450)

8925/(0.629·4.21) = 3368 кгс/см² >> R = 2300 кгс/см²;

Как видим, такое значение напряжений значительно больше допустимого. Если для изготовления поясов использовать трубу 50х40х3 мм, имеющую площадь сечения 4.81 см и минимальный радиус инерции i = 1.54 см, то результат расчетов будет следующим:

λ = 1·105/1.54 = 68.2 ≈ 68

φ = 0.77

8925/(0.77·4.81) = 2409 кгс/см² > R = 2300 кгс/см²;

Как видим и такой трубы для обеспечения прочности не достаточно. Ну а дальше возможны разные варианты, можно для изготовления поясов использовать трубу 50х40х3.5 мм с площадью сечения 5.49 см², которая явно обеспечит требуемый запас прочности, можно рассматривать и другие варианты, но мы остановимся на этом.

Теперь нужно проверить максимально допустимую гибкость для растянутого пояса из плоскости фермы. Согласно СНиП II-23-81* "Стальные конструкции" эта гибкость для растянутых элементов ферм не должна превышать 400. Соответственно трубы при изготовлении нужно располагать так, чтобы 50 - это была ширина трубы, а не высота, тогда при радиусе i = 1.81 см гибкость нижнего пояса составит:

λ = 1·630/1.81 = 348

Это требование нами соблюдено, можно переходить к расчету раскосов и стоек. Наиболее нагруженным раскосом будет сжатый стержень б-в. Его расчетная длина составит:

l = 0.525/cos37.3° = 0,525/0.7954 = 0.66 м или 66 см

Для соседнего растянутого раскоса, при заданном расчетном сопротивлении для обеспечения прочности потребуется труба сечением не менее

F = N/R = 3300.4/2300 = 1.43 см²

Для сжатого раскоса с учетом возможного продольного изгиба сечение должно быть больше, насколько именно - неизвестно, но мы теперь ученые и потому сразу примем трубу с хорошим запасом по площади сечения.

Для начала проверим квадратную трубу 25х25х2.5 мм, имеющую сечение 2.14 см², радиус инерции i = (1.77/2.14)1/2 = 0.91 см. Тогда:

λ = 1·66/0.91 = 72.6

φ = 0.74

3300.4/(0.74·2.14) = 2084 кгс/см² < R = 2300 кгс/см²;

Данная труба удовлетворяет требованиям и даже с некоторым запасом. Осталось выяснить какова будет примерно общая масса фермы:

m = 1.41(0.66·12 + 0.4·2) + 4.31·6.3·2 = 66.6 кг

Это в 2 раза больше, чем мы предположили вначале, но в целом общее увеличение нагрузки с учетом собственного веса фермы будет очень незначительным, около 0.6%.

Тем не менее поиск оптимального варианта можно продолжать, в данной статье остановимся на том, что есть.

Все необходимые условия по прочности и устойчивости нами соблюдены, но при этом никто не запрещает использовать для изготовления ферм профили большего сечения.

Осталось рассчитать длины и катеты сварных швов, но это уже отдельная тема.

Ручные расчеты фермы | Программное обеспечение SkyCiv Cloud для структурного анализа

Ищи:

• Программное обеспечение
  • SkyCiv Structural 3D: Программное обеспечение для структурного анализа
  • SkyCiv Beam
  • SkyCiv Section Builder
  • SkyCiv Connection Design
  • SkyCiv RC Design
  • SkyCiv Foundation Design
  SkyCiv8 Модуль нагрузки на ветер SkyCiv8 Интеграции и надстройки